Konwerter liczb zmiennoprzecinkowych IEEE 754

Czym jest zapis zmiennoprzecinkowy IEEE 754?

// Float ↔ hex through the raw IEEE 754 bits (works in any browser / Node.js)
const buf = new DataView(new ArrayBuffer(8));

function floatToHex32(value) {
  buf.setFloat32(0, value); // rounds to nearest even
  return '0x' + buf.getUint32(0).toString(16).toUpperCase().padStart(8, '0');
}

function hexToFloat32(hex) {
  buf.setUint32(0, parseInt(hex, 16));
  return buf.getFloat32(0);
}

floatToHex32(0.1);        // '0x3DCCCCCD'
floatToHex32(3.14159);    // '0x40490FD0'
hexToFloat32('3DCCCCCD'); // 0.10000000149011612

Kluczowe funkcje

Przykłady konwersji IEEE 754

0.1

0x3DCCCCCD — faktycznie przechowywane jako 0.100000001490116119384765625

3.14159

0x40490FD0

65504

0x7BFF — największa skończona wartość FP16

-0

0x80000000 (FP32), podczas gdy +0 to 0x00000000

Jak konwertować liczby zmiennoprzecinkowe IEEE 754

1. 1

   Wybór formatu zmiennoprzecinkowego

   Domyślnie wybrana jest precyzja pojedyncza (FP32). Można przełączyć na podwójną (FP64) dla liczb w stylu JavaScript/Python albo na połowiczną (FP16) i bfloat16 — formaty 16-bitowe używane w uczeniu maszynowym i grafice.

2. 2

   Wpisanie liczby dziesiętnej

   Wystarczy wpisać dowolną wartość — 0.1, -2.5e3, 65504 — lub skorzystać z przycisków wartości specjalnych: ±0, ±Infinity, NaN, najmniejsza subnormalna i największa skończona. Konwersja odbywa się podczas pisania.

3. 3

   Odczytanie kolorowego układu bitów

   Bit znaku, pole wykładnika i mantysa są wyróżnione różnymi kolorami, a tabela podziału na pola pokazuje surowe bity, arytmetykę przesunięcia i niejawny bit wiodący.

4. 4

   Sprawdzenie dokładnej wartości i błędu

   Panel dokładności wypisuje wartość faktycznie przechowywaną — każdą cyfrę, policzoną dokładnie — obok błędu zaokrąglenia względem wpisanej liczby, a także poprzednią i następną wartość reprezentowalną oraz odstęp ULP.

5. 5

   Przełączanie bitów, wklejanie hex, kopiowanie wyników

   Kliknięcie dowolnego bitu odwraca jego wartość; można też wkleić zapis hex (3DCCCCCD) lub ciąg binarny, aby zdekodować je z powrotem na liczbę dziesiętną. Do skopiowania są: hex, zapis binarny, dokładna wartość oraz link odtwarzający dokładnie ten sam wzorzec bitowy.

Najczęstsze błędy zmiennoprzecinkowe

print(0.1)  # 0.1 — wygląda dokładnie, ale nie jest

0.1 przechowywane (FP64) = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

if (0.1 + 0.2 === 0.3) { … }   // nigdy się nie wykona

if (Math.abs(a - b) < 1e-9) { … }   // tolerancja dobrana do danych

fp16(65520)   → Infinity (0x7C00) — ciche przepełnienie

bf16(65520)   → wartość skończona (bfloat16 zachowuje 8 bitów wykładnika)

if (x === NaN) { … }        // zawsze fałsz, nawet gdy x JEST NaN

if (Number.isNaN(x)) { … }  // poprawny test

Co można zrobić z konwerterem IEEE 754

Debugowanie serializowanych danych binarnych

Wystarczy wkleić hex znaleziony w przechwyconym ruchu sieciowym, buforze GPU, zrzucie rejestrów lub formacie pliku i zdekodować go do dokładnej wartości dziesiętnej — albo pójść w drugą stronę, aby przygotować dane testowe. Uwaga o kolejności bajtów: pokazywany hex to wzorzec bitowy big-endian; jeśli zrzut jest little-endian, przed wklejeniem należy odwrócić kolejność bajtów.

Zrozumienie kwantyzacji ML

Można sprawdzić, czy wartości przetrwają pułap 65504 formatu FP16, porównać cyfra po cyfrze utratę precyzji FP16 i bfloat16 oraz przyjrzeć się zakresowi subnormalnemu, w którym gradienty ulegają niedomiarowi.

Wyjaśnienie błędu zmiennoprzecinkowego

Gdy ktoś z zespołu pyta, dlaczego dwie „równe” liczby się różnią, wystarczy wysłać permalink pokazujący oba wzorce bitowe i dokładne przechowywane wartości — spór rozstrzyga się sam. Przy dłuższych zrzutach warto sięgnąć po narzędzie porównywania tekstu.

Nauka i nauczanie kodowania liczb

Zajęcia z architektury komputerów stają się konkretne, gdy studenci mogą klikać bity wykładnika i obserwować, jak aktualizuje się arytmetyka przesunięcia. Tabela podziału na pola odzwierciedla sposób, w jaki format rysują podręczniki.

Dekodowanie rejestrów embedded i przemysłowych

Ładunki Modbus, CAN i czujników rutynowo przenoszą wartości FP32 jako surowe słowa hex. Wystarczy wkleić takie słowo, aby odczytać wielkość fizyczną bez pisania jednorazowego skryptu.

Formaty IEEE 754 i wartości specjalne

Cztery formaty binarne w pigułce

binary16 (FP16): 1 bit znaku + 5 bitów wykładnika + 10 bitów mantysy, bias 15, maks. 65504, ~3,3 cyfry dziesiętnej. bfloat16: 1 + 8 + 7, bias 127, maks. ≈ 3,39 × 10³⁸, ~2,3 cyfry. binary32 (FP32): 1 + 8 + 23, bias 127, maks. ≈ 3,40 × 10³⁸, ~7,2 cyfry. binary64 (FP64): 1 + 11 + 52, bias 1023, maks. ≈ 1,80 × 10³⁰⁸, ~15,9 cyfry. Wzór jest stały: bity wykładnika kupują zakres, bity mantysy — precyzję, a bfloat16 świadomie oddaje całą precyzję za zakres FP32.

Jak składana jest wartość

Liczba normalna dekoduje się jako (−1)^znak × 1.mantysa × 2^(wykładnik − bias). Wiodąca jedynka jest niejawna — nie jest przechowywana, dlatego 23-bitowe pole mantysy daje 24 bity precyzji. Przechowywany wykładnik to wykładnik rzeczywisty plus przesunięcie (127 w FP32), więc 2⁰ zapisuje się jako 01111111. Tabela podziału na pola w tym narzędziu pokazuje każdy krok tej arytmetyki dla bieżącej wartości.

Wartości specjalne: zarezerwowane wzorce wykładnika

Wykładnik z samych jedynek przy zerowej mantysie to ±Infinity; przy dowolnej niezerowej mantysie to NaN (kanoniczny cichy NaN ustawia najstarszy bit mantysy). Wykładnik z samych zer przy zerowej mantysie to ±0; przy niezerowej — liczba subnormalna, dekodowana jako 0.mantysa × 2^(1 − bias), bez niejawnej wiodącej jedynki. Reguły są identyczne we wszystkich czterech formatach, dlatego te same przyciski działają w każdym z nich.

Zaokrąglanie: do najbliższej, remisy do parzystej

Gdy wartość wypada między dwiema liczbami reprezentowalnymi, domyślny tryb IEEE 754 zaokrągla do bliższej; przy dokładnym remisie wybiera tę, której ostatni bit mantysy to 0 (ties to even), co zapobiega systematycznemu dryfowi. Ten konwerter stosuje dokładnie tę regułę przy zwężaniu wpisanej liczby dziesiętnej do formatu docelowego, a panel błędu pokazuje wynikową różnicę ze znakiem w postaci dokładnej.

ULP: gęstość siatki floatów

Wartości reprezentowalne nie są rozłożone równomiernie — odstęp między sąsiadami (jedna jednostka na ostatnim miejscu) podwaja się przy każdej potędze dwójki. W okolicy 1.0 ULP double wynosi 2⁻⁵² ≈ 2,22 × 10⁻¹⁶; w okolicy 2⁵³ ULP sięga 1.0 i liczby całkowite zaczynają być pomijane. Panel sąsiadów wypisuje bieżący ULP dokładnie — to uczciwa odpowiedź na pytanie „jaka precyzja jest tu naprawdę dostępna?”.

Dobre praktyki pracy z liczbami zmiennoprzecinkowymi

Porównania bez operatora ==

Po dowolnej operacji arytmetycznej dwa matematycznie równe wyrażenia mogą znaleźć się o jeden ULP od siebie. Porównywać należy względem tolerancji dobranej do rzędu wielkości danych — albo liczyć ULP-y między wzorcami bitowymi, które to narzędzie pozwala obejrzeć bezpośrednio.

Pieniądze poza binarnymi floatami

Żadna siatka potęg dwójki nie zawiera dokładnie 0.10, więc waluta trzymana we floatach kumuluje widoczne błędy. Lepiej używać całkowitych groszy lub typu dziesiętnego; panel dokładnej przechowywanej wartości stanowi tu stały dowód dlaczego.

Format 16-bitowy dobierany zakresem, nie przyzwyczajeniem

Jeśli wartości mogą przekroczyć 65504 — funkcje straty, gradienty, skoki w symulacjach fizycznych — FP16 przepełni się do Infinity tam, gdzie bfloat16 płynie dalej. Jeśli wszystko jest znormalizowane do wąskiego pasma, dodatkowe bity mantysy FP16 dają wyraźnie lepszą precyzję.

Pułapka podwójnego zaokrąglenia przy zwężaniu

Konwersja dziesiętna → double → half może w rzadkich przypadkach granicznych wylądować o jeden ULP dalej niż konwersja dziesiętna → half wykonana bezpośrednio. To narzędzie zaokrągla wpisaną liczbę dziesiętną do formatu docelowego w jednym kroku, więc pokazany wynik to uczciwa odpowiedź IEEE 754.

Liczby całkowite psują się powyżej 2⁵³

Double przechowuje dokładnie każdą liczbę całkowitą do 2⁵³, a potem zaczyna pomijać — 2⁵³ + 1 jest niereprezentowalne. Przy identyfikatorach lub licznikach zbliżających się do tej skali lepiej używać 64-bitowych liczb całkowitych albo ciągów znaków, a podejrzane wartości sprawdzać tutaj na poziomie bitów.

Najczęściej zadawane pytania o konwerter IEEE 754